같지만 다른 양 ‘질량’과 ‘무게’

-이거 어따 써먹어요?

코난(진보교육연구소 회원)

중학교 1학년 과학 ‘힘’ 단원에서 중력을 배우면서, 아이들은 ‘질량’과 ‘무게’라는 물리량을 배우게 됩니다. 두 양은 같으면서도 다른 양입니다. 서로 다른 두 양이 똑같은 이유를 아이들에게 전달하는 것은 무척 중요합니다. 하지만 그것이 쉽지 않습니다. 게다가 우리의 고향인 행성 지구에서만 산다면 굳이 두 양을 구별할 필요도 별로 없습니다. 항상 같기 때문입니다. “선생님 이거 배워서 뭐해요? 써먹을 데도 없는데...”라는 아이들의 질문에, 저는 나름의 해답을 갖지고 있지만, 받아들이는 아이들 입장에서는 납득이 될지 자신이 없습니다. 아직 어린 중학교 학생들이 완전히 이해할 수 없는 해답이라는 생각도 들고, 동료 교사를 포함한 성인들도 모두 동의하지는 않는 대답일 수도 있기 때문입니다. 그래서 지구에서만 산다면 굳이 구별할 필요가 없는 두 양인 질량과 무게를 가르칠 때면 위 질문이 머리 속에서 맴돌곤 합니다. 어떨 땐 수업 말미에 오히려 제가 학생들에게 묻습니다. “그런데 도대체 이걸 왜 배울까?”

힘 단원에서 무게가 나오는 이유는, 무게가 힘의 한 종류인 ‘중력의 크기’를 나타내는 양이며 중력이 질량과 관계가 있기 때문입니다. 뉴턴의 만유인력 법칙에 의하면 우주에 있는 모든 ‘질량’(무게가 아닙니다)을 가진 물체들 사이에는 서로 잡아당기는 힘(인력)인 중력이 작용합니다. 이 때 이 중력의 크기를 우리는 ‘무게’라고 부르며, 그 크기는 두 물체의 질량에 각각 비례하고, 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례합니다.

지구 표면에 다닥다닥 붙어서 사는 인간들의 입장에서, 지구와 우리 주변의 물체(우리 자신을 포함합니다) 사이에 작용하는 중력은 그 물체의 질량에만 비례하는 것으로 느껴집니다. 우리의 활동 반경에 비해 지구의 반지름이 워낙 크기 때문에, 물체와 지구 사이의 거리의 차이는 무시해도 좋습니다. 또한 물체와 지구 사이에 작용하는 중력에서 지구의 질량은 고정된 값입니다. 따라서 지구 표면 근처에 있는 물체와 지구 사이에 작용하는 중력은 질량에만 비례하게 됩니다.

이를 이용하면 물체의 ‘무게’를 측정하여, 계산을 통해 물체의 ‘질량’을 구할 수 있습니다. 측정한 무게를 지구의 중력가속도 g 값으로 나누면 됩니다.

그런데 만유인력의 원인으로 중력을 작용하게 하는 질량이란 무엇일까요? 중학교 교과서에서는 질량을 ‘물질의 고유한 양’으로 정의합니다. 그런데 그냥 양이 아닌 ‘고유한’ 양이라니 그렇다면 고유하지 않은 양도 있나요? 저는 여기서 학생들에게 ‘양’에 대한 설명을 시작합니다.

보통 물건을 사고 팔 때 양을 정확히 나타낼 필요가 있습니다. 연필, 지우개, 컴퓨터 등과 같이 셀 수 있는 물건은 개수로 양을 나타내면 됩니다. 연필 1자루, 지우개 2개, 컴퓨터 3대 등으로 물건의 양을 나타냅니다. 하지만 우리 주위에는 한 개, 두 개로 셀 수 없는 물질도 있습니다.

예컨대 주유소에서 차에 넣는 휘발유나 경유(기름)와 마리 당 통째로 팔지 않는 소고기나 돼지고기(고기)의 경우를 생각해 봅시다. 주유소에서 기름을 넣을 때 보통 3만원어치 또는 5만원어치 등으로 금액으로 양을 이야기하기도 하지만, 실제로는 기름의 가격이 변하기 때문에 기름의 가격으로 기름의 양을 정확히 표현할 수 없습니다. 그래서 기름의 양을 나타낼 때는 10L, 20L등과 같이 L(리터)라는 단위를 사용합니다. 이와 같이 L(리터)를 단위로 사용하는 양을 부피라고 합니다. 보통 기름이나 우유와 같이 액체의 양을 나타낼 때 부피를 이용합니다. 우유의 양은 1L, 500mL 등과 같이 부피로 나타냅니다. 1L=1000mL이기 때문에 500mL는 1L의 2분의 1에 해당합니다.

그 다음으로 정육점에서 고기를 살 때를 생각해 봅시다. 닭고기나 생선은 작아서 보통 1마리, 2마리 단위로 팔기 때문에 크기가 달라도 개수로 양을 표현합니다. 하지만 소고기나 돼지고기처럼 양이 많아서 마리 단위로 사고 팔 수 없는 경우, 그 양을 kg, g등으로 나타냅니다. 우리나라에서는 ‘근’이라는 단위도 많이 쓰는데 고기의 경우 1근=600g입니다. 이와 같이 kg이나 g을 단위로 사용하여 물체의 양을 나타내는 것을 질량이라고 합니다. 일상생활에서는 이를 ‘무게’라고도 합니다. 하지만 질량과 무게는 같은 양이 아닙니다. 이유는 뒤에서 설명하도록 하겠습니다. 보통 고기와 같이 셀 수 없는 고체의 양을 나타낼 때 질량을 사용합니다. 금을 사고 팔 때 ‘돈’이라는 단위를 쓰는데 1돈은 3.75g입니다. 즉 질량으로 양을 나타냅니다.

액체의 양은 보통 부피로 나타내고, 고체의 양은 보통 질량으로 나타내는 이유는 양의 ‘측정’ 문제와 관련이 있습니다. 부피는 눈금이 있는 용기(눈금실린더)로 측정합니다. 눈금실린더란 긴 유리병에 눈금이 새겨져 있는 도구입니다. 액체의 경우 용기의 아래부터 채워지며 차오르는 성질이 있기 때문에, 용기에 부으면 부피를 쉽게 측정할 수 있습니다. 하지만 쇠고기와 같은 고체는 눈금실린더로 부피를 측정할 수 없습니다. 잘게 잘라서 넣더라도 빈 공간이 생기기 때문입니다. 그래서 부피를 측정하기 쉬운 액체는 그 양을 부피로 나타냅니다. 고기와 같은 고체는 보통 질량으로 양을 측정합니다. 질량은 저울로 측정합니다. 액체도 질량을 측정할 수는 있지만 흐르는 성질이 있기 때문에, 용기에 담아서 질량을 측정한 후 용기의 질량을 빼야합니다. 이 사소한 불편함이 차이를 만든 것으로 추정됩니다. 그런데 저울은 그 원리에 따라 2종류로 나눌 수 있습니다. 각각을 대표하는 것은 양팔 저울과 용수철 저울입니다.

양팔 저울은 그림과 같이 중심 기둥 양쪽으로 팔이 나와서 물건을 올려놓을 수 있게 만들어져 있습니다. 한쪽에는(보통 왼쪽) 질량을 측정하고 싶은 물체를 올려놓고, 반대쪽에는(오른쪽) 질량을 알고 있는 추(분동)를 올립니다. 예컨대 왼쪽에 사과를 올려놓고, 오른쪽에 질량이 50g짜인 추를 6개 올려놓았을 때 양쪽의 균형이 맞았다면 사과의 질량은 300g이 됩니다.

용수철 저울의 경우 사과를 매단 후, 용수철이 늘어난 길이를 표시하는 눈금을 읽어서 질량을 측정합니다. 예컨대 50g짜리 추를 매달았을 때 1cm가 늘어나는 용수철 저울에, 사과를 매달았더니 6cm가 늘어났다면 질량은 300g이 됩니다.

용수철 저울로 질량을 측정할 때는 양팔 저울과 달리 별도의 추가 필요하지 않습니다. 이것이 중요한 차이입니다. 양팔 저울은 질량을 아는 물체(추)와 비교하여 질량을 측정하지만, 용수철 저울은 비교 대상 없이 용수철이 늘어난 길이만으로 질량을 측정합니다.

이 질량 측정 방법은 모두 중력과 관련이 있습니다. 양팔 저울에서는 사과와 추에 모두 중력이 아래로 작용합니다. 양쪽의 중력이 같을 때 평형을 이룹니다. 용수철 저울의 경우 사과를 당기는 지구의 중력과 용수철의 탄성력이 평형을 이룹니다. 무거운 물체를 매달수록 중력이 커지기 때문에 용수철이 더 많이 늘어납니다. 그래서 질량이 크게 측정됩니다. 양팔 저울도 무거운 물체를 올려놓으면 중력이 세기 때문에 오른쪽에 추를 더 많이 올려놓아야 합니다. 그래서 질량이 크게 측정됩니다. 이와 같이 질량은 양팔 저울이나 용수철 저울 어느 것으로도 측정할 수 있습니다.

하지만 여기에 반전이 있습니다. 양팔 저울과 용수철 저울로 측정한 것은 사실 같은 양이 아닙니다. 이를 알아보기 위해 무대를 ‘달’로 옮겨보겠습니다. 달은 지구보다 작고 가볍기 때문에 달이 달 표면에 있는 물체를 당기는 힘인 달의 중력은 지구의 6분의 1로 작아집니다. 달에 가면 지구보다 중력이 작기 때문에, 마치 물속에 들어가 있는 것처럼 움직임이 달라집니다. 달에서 통통 튀는 듯한 움직임을 보이는 이유는 중력이 작기 때문입니다. 예컨대 지구에서 100kg까지 역기를 들 수 있는 사람이 달에서는 600kg까지 역기를 들 수 있습니다. 중력이 작아지기 때문입니다. 엄청 무거운 우주복을 입고도 달에서는 움직일 수 있는 이유는 중력이 작기 때문입니다.

이처럼 중력이 지구의 6분의 1인 달에서 질량을 측정하면 상황이 달라집니다. 예컨대 두 종류의 저울로 질량이 300g인 사과의 질량을 측정한다고 합시다. 양팔 저울의 경우, 왼쪽에 사과를 올려놓으면 사과를 당기는 중력이 지구의 6분의 1로 줄어듭니다. 따라서 질량이 6분의 1로 줄어든 것으로 측정될 것 같지만, 오른쪽에 올려놓는 추에 작용하는 중력도 똑같이 6분의 1로 줄어들기 때문에, 50g짜리 추를 지구에서와 똑같이 6개를 올려놓아야 균형이 맞게 됩니다. 그래서 양팔 저울로 측정한 사과의 질량은 달에서도 여전히 300g이 됩니다.

용수철 저울을 살펴봅시다. 지구에서와 같이 50g짜리 물체를 매달았을 때 1cm가 늘어나는 용수철 저울을 사용한다고 생각해 보겠습니다. 달에서는 중력이 지구의 6분의 1로 줄어들기 때문에, 300g짜리 사과를 매달면 용수철은 6cm가 아니라 1cm가 늘어나게 됩니다. 따라서 용수철 저울로 측정한 사과의 질량은 300g이 아니라 50g이 됩니다. 여기서 문제가 생깁니다. 양팔 저울로 측정한 사과의 질량은 지구와 달에서 똑같지만, 용수철 저울로 측정한 사과의 질량은 지구와 달에서 달라집니다. 용수철 저울로 측정한 사과의 질량은 달에서 6분의 1로 줄어듭니다. 양팔 저울은 추를 이용하여 중력을 ‘비교’하여 질량을 측정하지만, 용수철 저울은 비교 대상인 추가 없이 용수철 저울이 늘어난 길이로만 질량을 측정하기 때문입니다.

정리해 보겠습니다. 저울에는 2종류가 있는데, 추를 이용하여(비교를 통해) 질량을 측정하는 양팔 저울의 경우 지구와 달에서 측정한 질량의 크기가 모두 300g으로 동일합니다. 이렇게 양팔 저울을 이용하면 지구나 달이나 장소에 상관없이 물체의 ‘고유한 양’을 측정할 수 있습니다. 이것이 바로 ‘질량’입니다. 하지만 용수철 저울로 측정한 값은 300g과 50g으로 차이가 납니다. 이와 같이 용수철 저울로 측정한 값은 달에서 6분의 1로 줄어들기 때문에, 용수철 저울로 측정한 값은 물체의 양을 정확히 나타낼 수 없습니다. 용수철 저울로 잰 것은 실제로 물체의 양이 아니라 물체에 작용한 ‘중력의 크기’를 측정한 것이기 때문입니다. 그래서 중력이 달라지면 양도 다르게 측정됩니다. 달의 중력은 지구의 중력의 6분의 1이기 때문에 용수철 저울로 측정한 값은 6분의 1로 줄어듭니다. 그래서 용수철 저울로 측정한 중력의 크기, 즉 무게는 질량과 다른 물리량이라는 것입니다. 그래서 이를 강조하기 위해 양팔 저울로 측정한 값은 질량의 단위인 kg이나 g을 단위로 쓰지만, 용수철 저울로 측정한 값은 무게(중력의 크기)의 단위인 ‘kg중’이나 ‘g중’이라는 식으로 kg과 g 뒤에 ‘중’이라는 말을 붙여 구분하기도 합니다.

정리하면 양팔 저울로 측정한 값인 질량은 지구에서나 달에서나 똑같이 300g이 되지만, 용수철 저울로 측정한 값인 똑같은 사과의 무게는 지구에서는 300g중인 반면, 달에서는 50g중(6분의 1)이 됩니다. 이 때 지구에서는 질량과 무게의 값이 ‘중’자만 빼면 똑같기 때문에, 지구에만 사는 우리들은 일상생활에서 질량과 무게를 구분하지 않고 똑같이 사용하는 것입니다. 하지만 달에서는 그 값이 달라지기 때문에 질량과 무게를 구분해야 합니다. 이와 같이 질량과 무게는 지구에서는 같지만 사실은 다른 양인 것입니다. 질량은 물체의 고유한 양을 나타내며 그 값은 장소가 달라져도 변하지 않습니다. 이와 달리 무게는 중력의 크기를 나타내며, 지구, 달, 목성과 같이 장소가 달라지면 그 값도 달라집니다. 무중력 상태의 우주 공간에서는 질량이 얼마든 무게는 0이 됩니다. 둥둥 떠다니게 됩니다.

하지만 지구에서만 살고 평생 우주에 갈 일이 없는 일반적인 사람들은 저울을 양팔 저울과 용수철 저울로 구분할 필요가 없습니다. 따라서 질량과 무게를 구분할 필요도 없습니다. 과학 시험만 없다면 그냥 질량과 무게라는 용어를 혼용하여 사용해도 되며, 단위도 그냥 kg, g을 쓰지 굳이 kg중, N(뉴턴)을 써야한다는 생각을 할 필요도 없습니다. 그런데 이 ‘쓸모’없고 어려운 내용을 도대체 왜 학생들에게 가르치는 걸까요?

사실은 ‘쓸모’를 언급하며 “왜 공부를 해야 하느냐?”고 묻는 아이들은 대부분 공부가 하기 싫다는 이야기를 다르게 하는 경우가 많습니다. 물론 진정으로 쓸모를 묻는 학생도 있을 수 있으나, 어떤 학생들은 그 질문이 상대방을 흔들 수 있다는 판단을 하고 그것을 역이용하거나 공부하기 싫은 것을 스스로 합리화하기도 합니다. 세계 최장의 학습 시간을 자랑하는 우리나라 학생들이 한편으로 이해는 가지만 그냥 두고 볼 수는 없습니다.

어른들도 그렇습니다. 대다수 어른들은 학습의 이유를 성적에서 찾습니다. 학습의 쓸모는 성적에 있다고 생각합니다. 이를 비판하는 사람들은 아이들이 좋아하는 것을 또는 생활과 연결된 진정으로 쓸모 있는 것을 가르쳐야 한다고 합니다. 그 내용은 다르지만 쓸모를 중시하는 면에서는 비슷하기도 합니다. 현재 상황에서 질량과 무게의 본질적 차이를 스스로 배우고 싶어 하는 학생들은 찾아보기 어렵습니다. 그렇다고 생활과 연결되어 있지도 않습니다.

본질을 알기 위해서는 구체적인 것뿐 아니라 추상화가 필요하며, 그래서 추상적 지식은 모든 학습의 기본이 됩니다. 진보주의라는 탈을 쓴 낡은 교육관은 삶과 관련된 것을 가르쳐야 한다고 끊임없이 중얼거리며, 본질에서 벗어나 편향된 학습을 주장하곤 합니다.

자연은 복잡합니다. 그래서 과학은 자연을 단순화하여 연구합니다. 그래서 많은 자연 법칙들은 자연에 바로 적용하기 어려운 경우가 많습니다. 그래서 공학이 따로 존재하는 것 같습니다. 실제 문제에서는 온갖 경우의 수와 복잡성을 따져야 합니다. 그래서 실생활과 연결된 과학은 오히려 훨씬 어려운 경우가 많습니다. 어렸을 때 과학 잡지에서 ‘파도타기의 물리’ 등의 기사를 좋아라 읽었던 기억이 납니다. 하지만 이해하기는 힘들었습니다. 일상생활에서는 흔히 무거운 물체가 가벼운 물체보다 더 빨리 떨어집니다. 마찰이나 공기 저항 때문입니다. 그것만 없다면 역학적 에너지가 보존되기 때문에 똑같이 떨어진다고 열심히 가르칩니다. 하지만 우리 주위에 마찰이나 공기 저항이 없는 곳은 거의 없습니다. 오죽하면 갈릴레이가 피사에서 낙하 실험을 했을까요? 낙하 문제는 이해도 어렵고 일상생활의 경험과도 다르고, 게다가 별로 재미있는 내용도 아닙니다. 그럼에도 우리는 과학을 가르칩니다. 아이들이 흔히 관심을 갖는 내용만 쫓을 수는 없습니다. 또한 쓸모를 쫓는 것은 공부를 해야 하는 본질적 이유가 될 수 없습니다. 사람이 사람답게 살기 위해서, 문명화된 사회에서 하나의 독립된 주체적 인간으로 자라기 위해서 학습이 필요합니다. 많은 아이들은 쓸모없지만 우주 이야기를 좋아합니다.